数学分析|第一章：无尽小数和收敛数列

有理数的特征是它或是有尽小数，或是循环的无尽小数。由于有尽小数可以写成从某位起以后的数字全为0的无尽小数，所以我们可以说有理数是循环的无尽小数.这样，我们称不循环的无尽小数为无理数。在这个意义上，全体无尽小数就称为实数.数轴上的任何一点，都可以用一个实数来表示；每一个实数也对应着数轴上的一个点. 简略地说，全体实数正好铺满了数轴.这一事实称为实数的连续性.

定义实数的方式有好多种.通过无尽小数来定义实数只是其中的一种，而且是比较简单和直观的一种，因为它同通常的测量过程相关.需要指出的是，实数的连续性和数轴的连续性是一回事。

对于收敛数列的定义中，正数E必须是任意给定的，不能用一个很小的正数来代替.所谓“任意”，着重强调的是“任意地小”的方面，而不是“任意地大”那一方面。在证明数列收敛的时候，我们重视的是满足条件的N的存在性，并不需要找出满足要求的最小的正整数. 以下关于运用定义的极限证明很重要。

%% 绘制y=xsin(x)的曲线
x = linspace(-pi/4,pi/4,300);
y = x.*sin(1./x);
plot(x,y);
grid;
xlabel('Independent variable X');
ylabel('Independent variable Y');
title('The functions y=sin(1/x)')

%%z = sine (sqrt(x^2+y^2)) /sqrt(x^2+y^2)的3D曲面图
x =-7.5: .5:7.5;
y = x;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Z = sin(sqrt(X.^2+Y.^2))./sqrt(X.^2+Y.^2);
surf (X, Y, Z)

%% x = sine (t), y = cosine (t), z = t.的参数方程图
t = 0:pi/50:10*pi;
plot3(sin(t),cos(t),t)

%% r = cosine (2t) * sine (2t)极坐标函数曲线
t = 0:.01:2 * pi;
r = sin(2*t).* cos(2*t);
polar(t,r)